Question

已知函數f(x)=2lnx+

1-x2

x

（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）利用1）的結論求解不等式2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|．并利用不等式結論比較ln²（1+x）與

x2

1+x

的大小．
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1對任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer 1

（1）f(x)=2lnx+

1-x2

x

，定義域x|x＞0
f′(x)=

2

x

+

-2x×x-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

≤0
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（2）對2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|
當x≥1時，原不等式變為2lnx≤(1+

1

x

)•(x-1)=

x2-1

x

由（1）結論，x≥1時，f（x）≤f（1）=0，2lnx+

1-x2

x

≤0即2lnx≤

1-x2

x

成立
當0＜x≤1時，原不等式變為-2lnx≤(1+

1

x

)•(1-x)，即2lnx≥

x2-1

x

由（1）結論0＜x≤1時，f（x）≥f（1）=0，
綜上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0時，2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|，即|lnx2|≤|

x2-1

x

|，
∴ln2x2≤

(x2-1)2

x2

用

x+1

（其中x＞-1）代入上式中的x，可得ln2(x+1)≤

x2

x+1

（3）結論：a的最大值為

1

ln2

-1
∵n∈N^*，∴ln(1+

1

n

)＞0∵(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，∴a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n
取x=

1

n

，則x∈（0，1]，∴a≤

1

ln(1+x)

-

1

x

設g(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，g′(x)=

ln2(x+1)- x2 x+1

x2ln2(1+x)

≤0
∵g（x）遞減，
∴x=1時g最小=g(1)=

1

ln2

-1
∴a的最大值為

1

ln2

-1．