Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別為CC₁、B₁C₁、DD₁的中點，O為BF與B₁E的交點，
（1）證明：BF⊥面A₁B₁EG
（2）求直線A₁B與平面A₁B₁EG所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先在正方形BCC₁B₁中根據條件得到△BB₁F≌△B₁C₁E，進而推得 BF⊥B₁E；再結合DC⊥平面BCC₁B₁，GE∥DC得到BF⊥GE即可證明結論；
（2）由（1）知，BO⊥平面A₁B₁EG；得到∠BA₁O即為直線A₁B與平面A₁B₁EG所成角；然后通過求邊長即可求出結論．

解答：（1）證明：因為 BB₁=B₁C₁，B₁F=C₁E，BF=B₁E
所以△BB₁F≌△B₁C₁E
從而∠C₁EB₁=∠BFB₁
在Rt△B₁C₁E中∠C₁EB₁+∠C₁B₁E=90°
故∠BFB₁+∠C₁B₁E=90°從而∠FOB₁=90°
即BF⊥B₁E…（2分）
又因為DC⊥平面BCC₁B₁，GE∥DC
所以GE⊥平面BCC₁B₁…（4分）
又因為BF?平面BCC₁B₁
故BF⊥GE
又因為B₁E∩GE=E
所以BF⊥平面A₁B₁EG…（6分）
（2）解：如右圖，連接A₁O         
由（1）知，BO⊥平面A₁B₁EG
故∠BA₁O即為直線A₁B與平面A₁B₁EG所成角…（8分）
設正方體的棱長為1，則A1B=

2

，BF=

1+( 1 2 )2

=

5

2

在Rt△BB₁F中，有

BB1

BO

=

BF

BB1

故 BO=

BB12

BF

=

1

5 2

=

2

5

…（10分）
所以sin∠BA1O=

BO

A1B

=

2 5

2

=

10

5

…（12分）

點評：本題主要考查線面垂直的判定以及直線和平面所成的角的求法．在證明線面垂直時，一般時先證明線線垂直，即證直線和平面內的兩條相交直線垂直，從而得到線面垂直．