Question

在直角坐標系xOy中，若直線l₁：y=kx+1沿x軸向左平移1個單位，再沿y軸向上平移

3

個單位，回到原來的位置，直線l₂過（4，0）且與l₁垂直，以O為圓心的圓O與直線l₂相切
（1）求圓O方程；
（2）圓O與x軸交于A，B兩點，P為圓內一動點，P關于x軸的對稱點為Q，且|PQ|²，|PO|²，|OA|²成等差數列，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定直線l₁的斜率，從而可得線l₂的方程，利用圓O與直線l₂相切，求出圓的半徑，可得圓的方程；
（2）確定P的軌跡方程，利用向量數量積公式求出數量積，從而可求

PA

•

PB

的取值范圍．

解答：解：（1）直線l₁：y=kx+1沿x軸向左平移1個單位，再沿y軸向上平移

3

個單位，可得y=kx+1+k+

3

∵回到原來的位置，∴k=-

3

∵直線l₂過（4，0）且與l₁垂直，∴直線l₂的方程為y=

3

3

（x-4），即x-

3

y-4=0
∵圓O與直線l₂相切，∴r=

4

1+3

=2，∴圓O方程為x²+y²=4；
（2）不妨設A（-2，0），B（2，0），P（x，y）
∵|PQ|²，|PO|²，|OA|²成等差數列，
∴2|PO|²=|PQ|²+|OA|²，
∴4y²+4=2（x²+y²），即x²-y²=2
∴

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）
∵P為圓內一動點，∴

x2+y2＜4 x2-y2=2

，∴0≤y²＜1，∴-2≤2（y²-1）＜0
∴

PA

•

PB

的取值范圍為[-2，0）．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查軌跡方程的求解，屬于中檔題．