Question

（本小題滿分14分）
設函數,函數g(x)=分別在x=m和x=n處取得極值，且
m<n
（1）求的值
（2）求證：f(x)在區間[m,n]上是增函數
（3）設f(x)在區間[m,n]上的最大值和最小值分別為M和N,試問當實數a為何值時，M-N取得最小值？并求出這個最小值

Answer 1

解：（1）

（2）f(x)在區間[m,n]上為增函數 ；
（3）a=0，f(n)=1a="0"     。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用求解函數的極值和函數的最值，以及函數的單調性問題的綜合運用。
（1）因為為的兩根為m,n
所以由韋達定理得 m+n=-a,mn=-1，從而解得。
（2）運用導數的工具性作用，判定函數在給定區間的導數是否恒大于等于零得到。
（3）根據由（2）可知M=f(n),N=f(m)

 
必有f(m)+f(n)=0，得到2mn(m+n)+2a="0" 所以a=0。
解：（1）因為的兩根為m,n
所以由韋達定理得 m+n=-a,mn=-1              ……（1分）


因為m≤x≤n,所以
因此f(x)在區間[m,n]上為增函數                  ……（8分）
（3）由（2）可知M=f(n),N=f(m)

 ……（10分）
必有f(m)+f(n)=0
又f(m)+f(n)=

整理可得 2mn(m+n)+2a="0" 所以a=0
又可驗證此時f(n)=1a="0"       ……（14分）