Question

（2009•煙臺(tái)二模）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組

2x+y-4≤0 x+y-3≤0

（1）如圖在所給的坐標(biāo)系中，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域；
（2）求k=x+3y的取值范圍；
（3）在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求點(diǎn)（x，y）落在x∈[1，2]區(qū)域內(nèi)的概率．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)約束條件非負(fù)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組

2x+y-4≤0 x+y-3≤0

畫出可行域；
（2）再利用幾何意義求最值，只需求出直線k=x+3y過點(diǎn)A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)，z取得最值即可；
（3）根據(jù)不等式組畫出平面區(qū)域，求出區(qū)域的面積，以及落在x∈[1，2]區(qū)域內(nèi)的面積，最后利用幾何概型的概率公式解之即可．

解答：解：（1）不等式組

2x+y-4≤0 x+y-3≤0 x≥0 y≥0

所表示的平面區(qū)域，如下圖示：
（2）當(dāng)直線k=x+3y過點(diǎn)（0，0）時(shí)，k最小值為0．
當(dāng)直線k=x+3y過點(diǎn)A（0，3）時(shí)，k最大值為9．
故k=x+3y的取值范圍為：[0，9]．
（3）面積S=

1

2

×（3+2）×1+

1

2

×2×1=

7

2

其中落在x∈[1，2]區(qū)域內(nèi)的面積為1
故點(diǎn)（x，y）落在x∈[1，2]區(qū)域內(nèi)的概率P=

1

7 2

=

2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查畫可行域及由可行域求目標(biāo)函數(shù)最值問題，考查了二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，以及幾何概型的概率，同時(shí)考查了畫圖能力，屬于中檔題．