Question

（2009•煙臺二模）已知函數f（x）=g^x-x （g為自然對數的底數）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實數a的取值范圍；
（3）已知n∈N⁺，且S n=

∫

n 0

f(x)dx，是否存在等差數列{a_n}和首項為f（1）公比大于0的等比數列{b_n}，使得Sn=

n

k=1

(ak+bk)？若存在，請求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由導數法先求極值，即可得最值；
（2）把問題轉化為求函數F（x）=

gx

x

，x∈[

1

2

，2]的最大值的問題，由導數法可得答案；（3）結合等差數列和等比數列的和的特點，根據定積分所得的值，可得數列{a_n}，{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）由題意可得f′（x）=g^x-1，令g^x-1=0，可得x=0，
并且當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
故在x=0處，函數f（x）取到唯一的極小值也是最小值f（0）=1
（2）由題意可得：不等式f（x）＞ax即為（a+1）x＜g^x，
若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，則a+1＜

gx

x

在[

1

2

，2]的最大值，
令F（x）=

gx

x

，x∈[

1

2

，2]，則F′（x）=

gx(x-1)

x2

=0，解得x=1，
且當x∈（

1

2

，1），時，F′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（1，2）時，F′（x）＞0，f（x）單調遞增，故F（x）在x=1處取到極小值，也是最小值e，
F（

1

2

）=2

g

，F（2）=

1

2

g2，而且2

g

＜

1

2

g2，故最大值為

1

2

g2，即a+1＜

1

2

g2，故a＜

1

2

g2-1
（3）S n=

∫

n 0

f(x)dx=（g^x-x）

|

n 0

=（gⁿ-n）-（g⁰-0）=gⁿ-n-1，
不妨取a_n=-1，b_n=（g-1）g^n-1，則有

n

k=1

(ak+bk)=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=-n+

(g-1)(1-gn)

1-g

=gⁿ-n-1，故滿足題意．

點評：本題為等差數列，等比數列和函數的極值以及定積分的綜合應用，屬中檔題．