Question

已知曲線C的極坐標方程是ρ²（1+3sin²θ）=4，直線l的參數方程是（t為參數）．
（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；
（2）設點M為曲線C上任一點，求M到直線l的距離的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由ρ²（1+3sin²θ）=4，知ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，所以x²+4y²=4，由此能求出曲線C的直角坐標方程．由l的參數方程是（t為參數），知，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（2）設M（2cosθ，sinθ），則M到直線l的距離，由此能求出M到直線l的距離的最大值．
解答：解：（1）∵ρ²（1+3sin²θ）=4，
∴ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，
∴x²+4y²=4，
∴．
∵l的參數方程是（t為參數），
∴，
∴l：x+2y-6=0．
（2）設M（2cosθ，sinθ），
則M到直線l的距離，
∴當，
即時，
．
點評：本題考查曲線C和直線l的直角坐標方程的求法和求M到直線l的距離的最大值．解題時要認真審題，注意參數方程和直角坐標方程的相互轉化，合理地運用點到直線的距離公式進行解題．