Question

如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側棱PC上一點，它的正（主）視圖和側（左）視圖如圖2所示．

（Ⅰ）證明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱錐D-ABC的體積；
（Ⅲ）在∠ACB的平分線上確定一點Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時PQ的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AD垂直平面PBC內的兩條相交直線PC、BC，即可證明AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求出三棱錐的底面ABC的面積，求出高BC，再求三棱錐D-ABC的體積；
（Ⅲ）取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，點Q即為所求，證明PQ平行平面ABD內的直線OD，即可證明PQ∥平面ABD，在直角△PAQ中，求此時PQ的長．

解答：解：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，（2分）
所以BC⊥AD．（3分）
由三視圖可得，在△PAC中，PA=AC=4，D為PC中點，所以AD⊥PC，（4分）
所以AD⊥平面PBC，（5分）
（Ⅱ）由三視圖可得BC=4，
由（Ⅰ）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，
又三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積，（7分）
所以，所求三棱錐的體積V=

1

3

×

1

2

×

1

2

×4×4×4=

16

3

．（9分）
（Ⅲ）取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，點Q即為所求．（10分）
因為O為CQ中點，所以PQ∥OD，
因為PQ?平面ABD，OD?平面ABD，
所以PQ∥平面ABD，（12分）
連接AQ，BQ，四邊形ACBQ的對角線互相平分，
所以ACBQ為平行四邊形，
所以AQ=4，又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAQ中，PQ=

AP2+AQ2

=4

2

．（14分）

點評：本題考查由三視圖求面積、體積，直線與平面平行的性質，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．