Question

（本小題滿分14分）

如圖1，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側棱PC上一點，它的正(主)視圖和側(左)視圖如圖2所示．

(1) 證明：AD⊥平面PBC；

(2) 在∠ACB的平分線上確定一點Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時PQ的長．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；(2) PQ=

【解析】(1)易證再證即可.

(II) 確定Q的位置是解決此問題的關鍵：取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ＝2CO，連接PQ，OD，點Q即為所求．

證明：（1）因為，，所以

又因為，所以，所以………………4分

由三視圖可得在中，，為的中點，所以

所以………………………………………6分

(2)取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ＝2CO，

連接PQ，OD，點Q即為所求．………………8分

因為O為CQ的中點，D為PC的中點，所以

  

…………………………10分

連接AQ,BQ,

四邊形的對角線互相平分，且,

四邊形為正方形，

即為的平分線

又，

在直角三角形中，………………14分