Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

2

=C成立（其中C為常數(shù)），則稱函數(shù)y=f（x）在D上的約算術均值為C，則下列函數(shù)在其定義域上的算術均值可以為2的函數(shù)是（　　）

A．y=x²

B．y=4sinx

C．y=lnx

D．y=2^x

Answer 1

分析：本題可轉化為關于x₂的方程是否存在唯一解問題，先直接根據(jù)選項建立方程f（x₁）+f（x₂）=4，然后判斷是否存在唯一的解，從而得到正確選項．

解答：解：由題意可得，均值為2，則

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4，轉化為關于x₂的方程是否存在唯一解問題．
A任意的x₁∈R，關于x₂的方程x₁²+x₂²=4，當x₁＞2時，一定無解；
B任意的x₁∈R，關于x₂的方程4sinx₁+4sinx₂=4，即sinx₁+sinx₂=1，當sinx₁＜0時，一定無解；
C任意的x₁∈（0，+∞），關于x₂的方程lnx₁+lnx₂=4，一定有唯一解；
D任意的x₁∈R，關于x₂的方程2x1+2x2=4，當2x1＞4時，一定無解．
故選C．

點評：本題主要考查了函數(shù)的新定義，解決問題的關鍵是要根據(jù)已知定義，把題中的定義進行轉化，要求考生具備閱讀轉化的能力，屬于中檔題．