Question

定義在上的函數滿足：①對任意都有：；②當時，，回答下列問題．
（1）證明：函數在上的圖像關于原點對稱；
（2）判斷函數在上的單調性，并說明理由．
（3）證明：，.

Answer 1

試題分析：（1）利用條件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函數，其圖像關于原點對稱；（2）利用單調性定義進行判斷，結合第（1）小題的結論進行化簡和①②兩個條件對結果的符號進行判斷；（3）結合條件①把左邊式子的第項化為，由此左邊可以化為，再利用第（2）小題的結論得出，原不等式得證.
試題解析：（1）令，
令，則.
所以，在上是奇函數．               4分
（2）設，則
，            6分
而，，        7分
即當時，．
∴在上單調遞減．                8分
（3）



，
，
.
.             13分