Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ）與

b

=（

3

，1），其中θ∈（0，

π

2

）
（1）若

a

∥

b

，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(

a

+ 

b

)2，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析：（1）通過向量的平行，推出sinθ=

3

cosθ，根據θ的范圍，同角三角函數的基本關系式，直接求sinθ和cosθ的值；
（2）先根據向量坐標運算表示出函數f（θ），然后化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式你，再根據θ的范圍和正弦函數的性質得到答案．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴sinθ-

3

cosθ=0
求得tanθ=

3

又∵θ∈（0，

π

2

）∴θ=

π

3

sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

（本問也可以結合sin²θ+cos²θ=1或利用2sin（θ-

π

2

）=0來求解．
（2）f（θ）=(sinθ+

3

)2+（cosθ+1）²
=2

3

sinθ+2cosθ+5
=4sin（θ+

π

6

）+5
又∵θ∈（0，

π

2

），θ+

π

6

∈（

π

6

，

2π

3

），

1

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1
7＜f（θ）≤9
即函數f（θ）的值域為（7，9]．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，向量平行的應用，注意角的范圍三角函數的符號，函數值的確定，角的變換的技巧，考查計算能力，常考題型．