Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ），

b

=（2，1），滿足

a

∥

b

，其中θ∈(0，

π

2

)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求

2 sin(θ+ π 4 )(sinθ+2cosθ)

cos2θ

的值．

Answer 1

分析：（I）利用共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得tanθ值；
（Ⅱ）利用兩角和與差的正弦公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系將所求關(guān)系式化簡為

sinθ+2cosθ

cosθ-sinθ

，再弦化切即可．

解答：解：（I）∵

a

∥

b

，
∴

sinθ

2

=

cosθ

1

…2分
∴tanθ=2…4分
（Ⅱ）

2 sin(θ+ π 4 )(sinθ+2cosθ)

cos2θ

=

2 (sinθ• 2 2 + 2 2 cosθ)(sinθ+2cosθ)

cos2θ-sin2θ

…6分
=

(sinθ+cosθ)(sinθ+2cosθ)

(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)

…8分
=

sinθ+2cosθ

cosθ-sinθ

=

tanθ+2

1-tanθ

…10分
=

2+2

1-2

=-4…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查用兩角和與差的正弦公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于中檔題．