Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1-x）=f（-x-3），當0≤x≤2時，f(x)=

x

2

，那使f(x)=

1

2

成立的x的集合為（　　）

• A、{x|x=2n，n∈Z}
• B、{x|x=2n-1，n∈Z}
• C、{x|x=4n-1，n∈Z}
• D、{x|x=4n+1，n∈Z}

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，又由f（1-x）=f（-x-3），則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，則易得函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，又由當0≤x≤2時，f(x)=

x

2

，則當x=1時，f(x)=

1

2

，則易求f(x)=

1

2

成立的x的集合．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
又∵f（1-x）=f（-x-3），
∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，
∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又∵當0≤x≤2時，f(x)=

x

2

，
∴當x=1時，f(x)=

1

2

，
∴使f(x)=

1

2

成立的x的集合為{x|x=2n-1，n∈Z}
故選B

點評：利用函數(shù)的周期性解題要注意：對于任意實數(shù)x，①若f（x+T）=f（x），則T為函數(shù)的周期；②若f（x+T）=-f（x），則2T為函數(shù)的周期；③若（a，y），（b，y）分別為函數(shù)的兩個對稱中心則T=2|a-b|④若x=a，x=b都是函數(shù)的對稱軸，則T=2|a-b|．