Question

奇函數，且當x＞0時，f（x）有最小值，又f（1）=3．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設g（x）=xf（x），正數數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1²=g（a_n），求數列{a_n}的通項公式；
（3）設，數列{b_n}中b₁=m（m＞0），b_n+1=h（b_n）（n∈N^*）．是否存在常數m使b_n•b_n+1＞0對任意n∈N^*恒成立．若存在，求m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（1）=3，以及f（x）為奇函數可求出b的值，然后根據當x＞0時，f（x）有最小值，可求出c的值，從而求出函數的解析式；
（2）根據a_n+1²=g（a_n）可證得{a_n²+1}為等比數列，其首項為a₁²+1=2，公比為2，從而求出數列{a_n}的通項公式；
（3）假設存在正實數m，對任意n∈N^*，使b_n•b_n+1＞0恒成立，然后根據放縮法可得，取n＞1+b₁²，即n＞m²+1時，有b_n＜0與b_n＞0矛盾，從而得到結論．
解答：解（1）；
∵是奇函數；
∴即
又可知和不能同時為0
故b=0
a+b+1=3c+3d，
∴
∴
當x＞0時，f（x）有最大值
∴得
∴
（2）∵g（x）=2x²+1
∴a_n+1²=2a_n²+1⇒a_n+1²+1=2（a_n²+1）
∴{a_n²+1}為等比數列，其首項為a₁²+1=2，公比為2
∴a_n²+1=（a₁²+1）•2^n-1=2ⁿ∴
（3）由題
∴
假設存在正實數m，對任意n∈N^*，使b_n•b_n+1＞0恒成立．
∵b₁=m＞0
∴b_n＞0恒成立．
∴
∴
又
∴
取n＞1+b₁²，即n＞m²+1時，有b_n＜0與b_n＞0矛盾．
因此，不存在正實數m，使b_n•b_n+1＞0對n∈N^*恒成立．
點評：本題主要考查了函數的解析式，以及函數的奇偶性和恒成立問題，同時考查了數列的綜合運用，屬于中檔題．