Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，在三角形內挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C、M，與BC交于點N），求圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積．

Answer 1

分析：圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積，等于一個以AC為底面半徑，以BC為高的圓錐的體積，減去一個一個以CN為直徑的球，根據已知中，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，代入公式即可得到答案．

解答：解：設半圓的半徑為r，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，
連接OM，則OM⊥AB，
設OM=r，則OB=2r，
因為BC=OC+OB，所以BC=3r，
即r=

3

3

．
AC=BC•tan30°=1．
陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體為底面半徑AC=1，高BC=

3

的圓錐中間挖掉一個半徑r=

3

3

的球．
所以，V=V_圓錐-V_球=

1

3

•π•12•

3

-

4

3

•π•(

3

3

)3=

5 3

27

π．

點評：本題考查的知識點是旋轉體的體積，其中根據旋轉體的定義判斷出圖中幾何體的形狀是解答本題的關鍵．