Question

如圖，△ABC中，BC=2

3

，

AB

•

AC

=4，

AC

•

CB

=2，雙曲線M是以B、C為焦點(diǎn)且過(guò)A點(diǎn)．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)E（1，0）的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于
F、G兩點(diǎn)，直線l的斜率為k，求k的取值范圍．；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的直線l，是否存在k≠0使|OF|=|OG|若有求出k的值，若沒(méi)有說(shuō)明理由．（O為原點(diǎn)）

Answer 1

分析：（1）以BC邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則B，C坐標(biāo)可得，設(shè)出A的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出

AB

，

AC

和

CB

，進(jìn)而由

AB

•

AC

=4，

AC

•

CB

=2，求得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，設(shè)雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)方程，把A坐標(biāo)代入，以及雙曲線的焦距進(jìn)而求得a和b，雙曲線方程可得．
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，l與雙曲線無(wú)交點(diǎn)．當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，可設(shè)l的方程：y=k（x-1）與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式大于0求得k的范圍．
（3）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，設(shè)M是FG的中點(diǎn)，則有：OM⊥FG，由（2）可求的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而可表示出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出直線OM和FG的斜率相乘，看結(jié)果是不是-1．

解答：解：（I）以BC邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，
建立直角坐標(biāo)系，
則B(-

3

，0)，C(

3

，0)，設(shè)A(x0，y0)，
故

AB

=(-

3

-x0，-y0)，

AC

=(

3

-x0，-y0)，

CB

=(-2

3

，0)
由

AB • AC =4 AC • CB =2

，得

x 2 0 -3+ y 2 0 =4 -2 3 ( 3 -x0)=2

∴

x 2 0 = 16 3 y 2 0 = 5 3

設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，又c=

3

∴

16 3a2 - 5 3b2 =1 a2+b2=3

，∴

a2=2 b2=1

∴雙曲線M的方程為

x2

2

-y2=1；
（II）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，l與雙曲線無(wú)交點(diǎn)．
當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，可設(shè)l的方程：y=k（x-1）
由

y=k(x-1) x2 2 -y2=1

，消去y，得（1-2k²）x²+4k²x-2（k²+2）=0
∵l與雙曲線的左、右兩支分別交于F（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
則

1-2k2≠0 x1x2= 2k2+2 2k2-1 ＜0

∴-

2

2

＜k＜

2

2

（Ⅲ）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，設(shè)M是FG的中點(diǎn)，
則有：OM⊥FG
由（II）易得x1+x2=

4k2

2k2-1

，中點(diǎn)M(

2k2

2k2-1

，

k

2k2-1

)
則應(yīng)有：K_OMK_FG=-1，即k•

1

2k

=-1，顯然不成立，
所以不存在這樣的k值使|OF|=|OG|．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的方程．涉及了直線與雙曲線的關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力和基本的運(yùn)算能力．