Question

　　已知函數f(x)定義域為[0，1]，且同時滿足：

　　①對任意x∈[0，1]，總有f(x)≥3．

　　②f(1)＝4

　　③若x₁≥0，x₂≥0，x₁＋x₂≤1，則有f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)－3

(Ⅰ)試求f(0)的值；

(Ⅱ)試求函數f(x)的最大值；

(Ⅲ)試證明：當x∈時，f(x)＜3x＋3；當x∈(n∈N^*)時，f(x)＜3x＋3．(文科不做此問后半部分)

Answer 1

答案：
解析：

(1)f(0＋0)≥f(0)＋f(0)－3，f(0)≤3，又f(0)≥3 　　∴f(0)＝3 　　(2)設0≤x1＜x2≤1 　　f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－3，f(x2－x1)≥3 　　∴f(x2)≥f(x1)＋3－3即f(x2)≥f(x1) 　　∴f(x)在[0，1]增函數 　　∴f(x)≤f(1)＝4即f(x)的最大值為4． 　　(3)∵f(x)在上是增函數． 　　∴當x∈時，f(x)≤f(1)＝4． 　　而在上，3x＋3＞3，＋3＝4 　　∴f(x)＜3x＋3．x∈ 　　用數學歸納法證明：當n∈N時，x∈時f(x)＜3x＋3 　　①n＝0時已證． 　　②假設n＝k時，當x∈，f(x)＜3x＋3 　　則x∈時，則3x∈，f(3x)＜9x＋3 　　又由已知f(3x)≥f(2x)＋f(x)－3≥f(x)＋f(x)－3＋f(x)－3＝3f(x)－6 　　即3f(x)－6＜9x＋3 　　∴f(x)＜3x＋3即n＝k＋1時，命題亦成立． 　　∴n∈N時，命題成立，則n∈N*命題當然成立．