【題目】已知
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）證明：
.
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
（1）由函數的解析式求得函數的定義域，再求出
，分類討論
的范圍，求得的符號，從而求得函數
的單調區間.
（2）利用導數求得
在區間
單調遞減，可得當
時，有
，再用放縮法證得
，從而證得要證的不等式成立.
（1）
的定義域為
，
.
令
，可得
或
.
當
時，
，由
得
，由
得
，
由此可得的單調遞增區間為
，單調遞減區間為.
當
時，
，由得
，由得，
由此可得的單調遞增區間為
，單調遞減區間為.
當
時，
，由得
，由
得
或，由此可得的單調遞增區間為
，
單調遞減區間為
，.
當
時，
，可得
，故的單調遞減區間為.
當
時，
，由得
，
由得或
，由此可得的單調遞增區間為
，
單調遞減區間為，
；
（2）當時，由（1）得在區間單調遞減，
由此可得當時
，即.
令
，則
，
從而
，
由此得
，
.
各地期末復習特訓卷系列答案
小博士期末闖關100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為ρ= 4cosθ，直線l的參數方程為
(t為參數).
（1）求曲線的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（2）若曲線
的參數方程為
(α為參數)，曲線上點P的極角為
Q為曲線上的動點，求PQ的中點M到直線l距離的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新能源汽車正以迅猛的勢頭發展，越來越多的企業不斷推出純電動產品，某汽車集團要對過去一年推出的四款純電動車型中銷量較低的
車型進行產品更新換代.為了了解這種車型的外觀設計是否需要改進，該集團委托某調查機構對大眾做問卷調查，并從參與調查的人群中抽取了
人進行抽樣分析，得到如下表格：（單位：人）
喜歡 | 不喜歡 | 合計 | |
青年人 |
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|
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中年人 |
|
|
|
合計 |
|
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（1）根據表中數據，能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為大眾對型車外觀設計的喜歡與年齡有關？
（2）現從所抽取的中年人中按是否喜歡型車外觀設計利用分層抽樣的方法抽取
人，再從這人中隨機選出
人贈送五折優惠券，求選出的人中至少有
人喜歡該集團型車外觀設計的概率；
（3）將頻率視為概率，從所有參與調查的人群中隨機抽取
人贈送禮品，記其中喜歡型車外觀設計的人數為
，求的數學期望和方差.
參考公式：
，其中
.
參考數據：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若無窮數列
滿足：
，且對任意的
，
（
，
，
，
）都有
，則稱數列為“G”數列.
（1）已知等比數列的通項為
，證明：是“G”數列；
（2）記數列的前n項和為
且有
，若對每一個
取
，中的較小者組成新的數列
，若數列
為“G”數列，求實數
的取值范圍？
（3）若數列
是“G”數列，且數列的前n項之積
滿足
，求證：數列是等比數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
.現以極點
為原點，極軸為
軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線
的參數方程為
(
為參數).
（1）求曲線的直角坐標系方程和直線的普通方程；
（2）點
在曲線上，且到直線的距離為
，求符合條件的點的直角坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，過點
的直線交拋物線
于
和
兩點.
（1）當
時，求直線
的方程；
（2）若過點
且垂直于直線的直線
與拋物線交于
兩點，記
與
的面積分別為
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
：
的右焦點為
，右頂點為
，已知橢圓離心率為
，過點且與
軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點的直線
與橢圓交于點
（不在軸上），垂直于的直線與交于點
，與
軸交于點
，若
，且
，求直線斜率的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下表是某公司
年
月份研發費用
（百萬元）和產品銷量
（萬臺）的具體數據：
月 份 |
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研發費用（百萬元） |
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產品銷量（萬臺） |
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（1）根據數據可知與之間存在線性相關關系，用線性相關系數說明與之間的相關性強弱程度
（2）求出與的線性回歸方程（系數精確到
），并估計當研發費用為
（百萬元）時該產品的銷量.
參考數據：
，
，
，
參照公式：相關系數
，其回歸直線
中的
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