Question

下列四個命題：
①函數f（x）在x＞0時是增函數，x＜0也是增函數，所以f（x）是增函數；
②已知函數f（x）=log₃x+2，（x∈[1，9]，則函數y=[f（x）]²+f（x²）的最大值是13；
③y=x²-2|x|-3的遞增區(qū)間為[1，+∞）；
④已知函數f（x）滿足：當x≥3時，f(x)=(

1

3

)x；當x＜3時，f（x）=f（x+1），則f（1+log₃4）的值是

1

36

．
其中正確命題是

 

．

Answer 1

分析：①此命題是假命題，舉反例說明命題錯誤；
②由3大于1得到對數函數為增函數，求出y的最大值即可判斷真假；
③討論x的正負化簡絕對值，然后利用二次函數的圖象找出函數的增區(qū)間即可判斷此命題的真假；
④根據函數的遞推式得到x=1+log₃4小于3時代入f（x）=f（x+1），得到2+log₃4大于3即可代入f(x)=(

1

3

)x，求出值即可判斷．

解答：解：①舉一個例子y=-

1

x

，當x＜0時，函數為增函數，當x＞0時，函數為增函數，但是在x≠0時，函數不單調，所以錯誤；
②由x∈[1，9]，又f（x）=log₃x+2，所以y=[f（x）]²+f（x²）=[log₃x+2]²+

log

x2 3

+2，根據3＞1得到對數函數log₃^x為增函數，所以分別當x=9時log₃^x和

log

x2 3

達到最大即y取最大．則y最大=（log₃⁹+2）²+log₃⁸¹+2=22，所以此命題錯；
③當x＞0時，y=x²-2x-3，為對稱軸為直線x=1的開口向上的拋物線，所以[1，+∞）為函數的增區(qū)間；當x＜0時，y=x²+2x-3，為對稱軸為直線x=-1的開口向上的拋物線，所以（-1，+∞）為增區(qū)間，綜上，函數y的增區(qū)間為[1，+∞），正確；
④因為1+log₃4＜3，所以f（1+log₃4）=f（1+1+log₃4），而2+log₃4＞3，所以f（2+log₃4）=(

1

3

)2+

log

4 3

=(

1

3

)2×

1

4

=

1

36

，命題正確．
所以正確命題的序號是③④
故答案為：③④

點評：此題是一道綜合題，要求學生掌握二次函數和對數函數的增減性，靈活運用對數函數的運算性質，會利用舉反例的方法說明一個命題是假命題．