Question

給出下列四個命題：
①函數f（x）=lnx-2+x在區間（1，e）上存在零點；
②若f′（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀處取得極值；
③若m≥-1，則函數y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域為R；
④已知x₁是方程x+lgx=5的根，x₂是方程x+10^x=5的根，則x₁+x₂=5．
其中正確的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用零點存在定理判斷即可；
②舉例說明，令f（x）=x³，f′（0）=0，判斷即可；
③令g（x）=x²-2x-m，依題意，方程x²-2x-m=0有實根，從而可求得m；
④利用y=lgx與y=10^x互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱，判斷即可．

解答：解：①∵f（x）=lnx-2+x在（1，e）上連續不斷，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，
∴函數f（x）=lnx-2+x在區間（1，e）上存在零點，即①正確；
②不妨令f（x）=x³，則f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）=x³在R上單調遞增，無極值，而f′（0）=0，
∴②若f′（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀處取得極值，錯誤；
③令g（x）=x²-2x-m，依題意，方程x²-2x-m=0有實根，
∴△=（-2）²-4×（-m）=4+4m≥0，
∴m≥-1，故③正確；
對于④，方程方程x+lgx=5和方程x+10^x=5的可化為方程lgx=5-x和方程10^x=5-x，
令f（x）=lgx，g（x）=10^x，y=5-x，畫圖：
顯然x₁是函數f（x）=lgx 與 y=5-x圖象的交點的橫坐標，
x₂是函數g（x）=10^x與 y=5-x的圖象的交點的橫坐標，
由于函數 f（x）=lgx與g（x）=10^x的圖象關于y=x對稱，直線y=5-x也關于y=x 對稱，且直線 y=5-x與它們都只有一個交點，
∴這兩個交點關于y=x對稱．又因為兩個交點的中點P是y=5-x與y=x 的交點，即P（

5

2

，

5

2

），
∴x₁+x₂=2×

5

2

=5，
∴④正確．
∴正確的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查零點存在定理、極值的概念、對數函數的性質及反函數，屬于中檔題．