Question

已知函數f（x）的定義域是R，對任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，當x∈[-1，1）時，f（x）=x．關于函數f（x）給出下列四個命題：
①函數f（x）是奇函數；
②函數f（x）是周期函數；
③函數f（x）的全部零點為x=2k，k∈Z；
④當x∈[-3，3）時，函數g(x)=

1

x

的圖象與函數f（x）的圖象有且只有三個公共點．
其中全部真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①由題意得對任意x∈R，f（x+2）=f（x），所以f（x）是周期函數，且周期是2．所以f（1）=f（1-2）=f（-1），即f（-1）=f（1）．
②由①得f（x）是周期函數，且周期是2．故②正確．
③由題意得f（0）=0．因為（x）是周期函數，且周期是2，所以f（x）=0的全部解為x=2k．
④當x∈[-1，1）時，解方程f（x）=g(x)=

1

x

得x=-1或x=1（舍去）．同理根據函數的周期求出函數在[1，3）與[-3，-1）時的解析式列方程求解可得答案．

解答：解：①因為對任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，所以對任意x∈R，f（x+2）=f（x），所以f（x）是周期函數，且周期是2．
所以f（1）=f（1-2）=f（-1），即f（-1）=f（1），
所以函數f（x）不是奇函數．故①錯誤．
②由①得f（x）是周期函數，且周期是2．故②正確．
③因為當x∈[-1，1）時，f（x）=x，所以f（0）=0．又因為（x）是周期函數，且周期是2，所以函數f（x）的全部零點為x=2k．故③正確．
④x∈[-1，1）時，f（x）=x，令f（x）=g(x)=

1

x

解得x=-1或x=1（舍去）．當x∈[1，3）時f（x）=x-2=g(x)=

1

x

解得x=1+

2

或x=1-

2

（舍去）．當x∈[-3，-1）時，f（x）=x+2=g(x)=

1

x

解得x=-1-

2

或x=-1+

2

（舍去）．故④正確．
故答案為②③④．

點評：解決此類題目的關鍵是對于分段函數的奇偶性，周期性，單調性等性質要熟練掌握，在高考中也是重點考查的范圍之一．