Question

已知實數a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先由柯西不等式得(

1

2

+

1

3

+

1

6

)   (2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d) 2從而得到關于a的不等關系：5-a²≥（3-a）²，解之即a的取值范圍．

解答：解：由柯西不等式得(

1

2

+

1

3

+

1

6

)   (2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d) 2
即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²
將條件代入可得5-a²≥（3-a）²，解得1≤a≤2
當且僅當

2 b

1 2

=

3 c

1 3

=

6 d

1 6

時等號成立，
可知b=

1

2

，c=

1

3

，d=

1

6

時a最大=2，
b=1，c=

2

3

，d=

1

3

時，a最小=1，
所以：a的取值范圍是[1，2]．

點評：此題主要考查不等式的證明問題，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的應用問題，有一定的技巧性，需要同學們對一般形式的柯西不等式非常熟練．