Question

已知實數a，b，c滿足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，不等式|a+b|≥k|c|恒成立．則實數k的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意得，a≤b＜0＜c，c=-

ab

a+b

，k小于或等于

a2+b2+2ab

ab

的最小值，利用基本不等式求得答案．

解答：解：∵a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，∴a≤b＜0＜c，c=-

ab

a+b

，
由不等式|a+b|≥k|c|恒成立得
k≤

|a+b|

|c|

=

|a+b|

| -ab a+b |

=

|a+b|2

ab

=

a2+b2+2ab

ab

 恒成立，故k小于或等于

a2+b2+2ab

ab

的最小值．
又∵

a2+b2+2ab

ab

≥

2ab+2ab

ab

=4，故k≤4，
故答案為 4．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，得出k小于或等于

a2+b2+2ab

ab

的最小值是解題的關鍵．