Question

【題目】橢圓的離心率為，其右焦點到點的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于，兩點(，不是左右頂點)，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，

【解析】

（1）由右焦點到點的距離為得到，解出，由橢圓離心率為，得到，解出，由，即可求得橢圓方程；

（2）記橢圓右頂點為點，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去并整理，由韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，可得，化簡整理可得與的關(guān)系，可證直線過定點，求出該定點的坐標(biāo)即可.

解:（1）右焦點到點的距離為，

，解得，

又橢圓的離心率為，

，解得，

，

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）記橢圓右頂點為點，則，

設(shè)，，

聯(lián)立直線與橢圓方程，得，

消去得，

，即，

，，

，

以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，

，即，

又，，

，

，

整理得，

解得，均滿足，

當(dāng)時，：，直線過定點(2，0)，與已知矛盾，

當(dāng)時， ：，直線過定點，

綜上所述，直線過定點，定點坐標(biāo)為.