Question

已知函數，（）

（1）若函數存在極值點，求實數b的取值范圍；

（2）求函數的單調區間；

（3）當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時，，函數的單調遞增區間為；

當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（3）對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，滿足條件.

【解析】

試題分析：（1）求，要函數由極值，也就是有實數解，由于是關于的二次函數，則由便求得的取值范圍；（2）求，需要對實數進行分類討論，或，在這兩種情況下分別求出函數的單調區間，注意分類討論問題，應弄清對哪個字母分類討論，分類應不重不漏；（3）是探索性問題，要說明存在是以O為直角頂點的直角三角形，

且斜邊中點在y軸上，需要證明，該方程有解，要對進行分類討論分別說明.

試題解析：（1），若存在極值點，

則有兩個不相等實數根.

所以，解得 .

（2），

當時，，函數的單調遞增區間為；

當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

當且時，

假設使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上.

則且.

不妨設.故，則.

，該方程有解，

當時，，代入方程得，

即，而此方程無實數解；

當時，則；

當時，，代入方程得，即，

設，則在上恒成立.

∴在上單調遞增，從而，則值域為.

∴當時，方程有解，即方程有解.

綜上所述，對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上.

考點：導數的計算，函數的極值，構造法.