【題目】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
的離心率為
，且點
在橢圓C上.橢圓C的左頂點為A.
（1）求橢圓C的方程
（2）橢圓的右焦點且斜率為
的直線與橢圓交于P，Q兩點，求三角形APQ的面積；
（3）過點A作直線與橢圓C交于另一點B.若直線
交
軸于點C，且
，求直線的斜率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）根據橢圓的離心率和過點坐標，可得關于
的方程，解方程即可得到橢圓的方程；
（2）設直線PQ的方程為
與橢圓聯立得：
，利用弦長公式和點到直線的距離公式，可求得三角形的面積；
（3）由題意知直線
的斜率存在，設的方程為：
，利用
可得關于
的方程，解方程即可得答案；
（1）由題意知：
解得：
，所以，所求橢圓C的方程為.
（2）設直線PQ的方程為與橢圓聯立得：
其判別式
所以
，
則
又點A到直線PQ的距離為
所以三角形APQ的面積為
（3）由題意知直線的斜率存在，設為，過點
，則的方程為：，
聯立方程組
，消去
整理得：
，
恒成立，令
，
由
，得
，
將
代入中，得到
，得
，
解得：
，
.所以直線的斜率為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面
是邊長為
的正方形，
是正三角形，
為線段
的中點，點
為底面內的動點，則下列結論正確的是（ ）
A.若
時，平面
平面
B.若時，直線
與平面所成的角的正弦值為
C.若直線
和
異面時，點不可能為底面的中心
D.若平面平面，且點為底面的中心時，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知命題
：關于
的不等式
無解；命題
：指數函數
是
上的增函數.
（1）若命題
為真命題，求實數
的取值范圍；
（2）若滿足為假命題且為真命題的實數取值范圍是集合
，集合
，且
，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過橢圓
右焦點
的直線交橢圓與A，B兩點，
為其左焦點，已知
的周長為8，橢圓的離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓任意一條切線與橢圓恒有兩個交點
，
？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查某廠工人生產某件產品的效率，隨機抽查了100名工人某天生產該產品的數量，所取樣本數據分組區間為
，
由此得到如圖所示頻率分布直方圖.
（1）求
的值并估計該廠工人一天生產此產品數量的平均值；
（2）從生產產品數量在
的四組工人中，用分層抽樣方法抽取13人，則每層各應抽取多少人？
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【題目】已知拋物線
，不與坐標軸垂直的直線
與拋物線交于
兩點，當
且
時，
.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若
過定點
，點
關于
軸的對稱點為
，證明：直線
過定點，并求出定點坐標.
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【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底
， 
是
的中點。
（1）證明：直線
平面
；
（2）點
在棱
上，且直線
與底面
所成角為
，求二面角
的余弦值。
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【題目】某市為了改善居民的休閑娛樂活動場所，現有一塊矩形
草坪如下圖所示，已知：
米，
米，擬在這塊草坪內鋪設三條小路
、
和
，要求點
是
的中點，點
在邊
上，點
在邊
時上，且
.
（1）設
，試求
的周長
關于
的函數解析式，并求出此函數的定義域；
（2）經核算，三條路每米鋪設費用均為
元，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用.
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