Question

【題目】過橢圓右焦點的直線交橢圓與A，B兩點，為其左焦點，已知的周長為8，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由橢圓的定義可知，的周長為，可求，再由離心率可求，即可求出橢圓的方程；

（2）假設存在滿足條件的圓.當直線的斜率存在時，設其方程為，代入橢圓的方程，根據韋達定理，再結合圓心到直線的距離等于半徑，求出圓的半徑，寫出圓的方程，最后驗證直線的斜率不存在時也成立.

（1）由橢圓的定義可知，的周長為，

由題意，又，

，

所以橢圓的方程為.

（2）假設存在滿足條件的圓，設圓的方程為.

當直線的斜率存在時，設其方程為.

由，得，

，

.

，

即，

即，整理得.

直線與圓相切，，

存在圓滿足條件.

當直線的斜率不存在時，圓也滿足條件.

綜上，存在圓滿足條件.