Question

定義在區間[-π，

2

3

π]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱，當x∈[-

π

6

，

2

3

π]時，函數f（x）=Asin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，其圖象如圖．
（Ⅰ）求函數y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表達式；
（Ⅱ）求方程f(x)=

2

2

的解集．

Answer 1

分析：（1）觀察圖象易得當x∈[ -

π

6

 ， 

2

3

π ]時，：A=1 ， ω=1 ， φ=

π

3

，再由函數y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱求出[ -π ，-

1

6

π ]上的解析式，即可得到函數y=f（x）在[ -π ， 

2

3

π ]的表達式；
（2）由（1）函數的解析式是一個分段函數，故分段解方程求方程f(x)=

2

2

的解．

解答：解：（1）當x∈[ -

π

6

 ， 

2

3

π ]時，
函數f(x)=Asin(ωx+φ)  (A＞0 ， ω＞0 ， -

π

2

＜φ＜

π

2

)，觀察圖象易得：A=1，周期為2π，可得ω=1，
再將點(

π

6

，1)代入，結合題設可得φ=

π

3

，即函數f(x)=sin(x+

π

3

)，
由函數y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱得，x∈[ -π ， -

π

6

 ]時，函數f（x）=-sinx．
∴f(x)=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 ， 2π 3 ] -sinx，x∈[-π，- π 6 )

．
（2）當x∈[ -

π

6

 ， 

2

3

π ]時，
由sin(x+

π

3

)=

2

2

得，x+

π

3

=

π

4

或

3π

4

⇒x=-

π

12

或x=

5π

12

；
當x∈[ -π ， -

π

6

 ]時，由-sinx=

2

2

得，x=-

3π

4

或x=-

π

4

．
∴方程f(x)=

2

2

的解集為{ -

3π

4

 ， -

π

4

 ， -

π

12

 ， 

5π

12

 }

點評：本題考查由函數的部分圖象求函數的解析式，解題的關鍵是熟練掌握三角函數圖象的特征，根據這些特征求出解析式中的系數，得出函數的解析式，本題涉及到函數的對稱性求解析式，以及解三角方程，運算量較大，易因運算導致錯誤，解題時要謹慎．