Question

已知定義在區間[0，2]上的兩個函數f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4，g（x）=

ax+1

x+1

，（a≥0）
（1）求函數y=f（x）的最小值m（a）；
（2）討論函數y=g（x）的單調性
（3）若對任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），對a分類討論分a≥2與0≤a＜2，即可得出最小值；
（2）利用導數和對a分類討論即可得出；
（3）對任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立?在區間[0，2]上，f（x）_min＞g（x）_max成立．
通過對a分類討論即可．

解答：解：（1）f′（x）=2（x-a）．
①a≥2時，f′（x）≤0，函數f（x）在區間[0，2]上單調遞減，∴m（a）=f（2）=4-4a+4=8-4a；
②0≤a＜2，令f′（x）=0，解得x=a，∴f（x）在x=a出去的極小值，即最小值，∴m（a）=f（a）=4-a²．
綜上可得：m（a）=

8-4a，a≥2 4-a2，0≤a＜2

．
（2）g′(x)=

a-1

(x+1)2

．（x≠-1）
∴①0≤a＜1時，g′（x）＜0，∴g（x）在區間[0，2]上單調遞減；
②a=1時，g（x）=1（x≠1）是常數函數；
③a＞1時，g′（x）＞0，∴g（x）分別在區間[0，2]上單調遞增．
（3）∵對任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，
∴在區間[0，2]上，f（x）_min＞g（x）_max成立．
①0≤a≤1時，f(x)min=4-a2，g（x）_max=g（0）=1，∴4-a²＞1，又0≤a≤1，解得0≤a≤1；
②1＜a＜2時，f(x)min=4-a2，g(x)max=g(2)=

2a+1

3

，∴4-a2＞

2a+1

3

，及1＜a＜2，解得1＜a＜

34 -1

3

；
③a≥2時，f（x）_min=8-4a，g(x)max=g(2)=

2a+1

3

，∴8-4a＞

2a+1

3

，又a≥2，解得a∈∅．
綜上可知：a的取值范圍是[0，

34 -1

3

）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．