Question

已知定義在區間[-π，

3π

2

]上的函數y=f（x）圖象關于直線x=

π

4

對稱，當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的圖象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若關于x的方程f(x)=-

9

10

有解，將方程所有的解的和記為M，結合（1）中函數圖象，求M的值．

Answer 1

分析：（1）根據圖象的對稱性做出y=f（x）的圖象．
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，則

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，由題意得f(x)=f(

π

2

-x)．再根據當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx，
求出解析式．
（3）因為-

9

10

∈（-1，-

2

2

），f（x）=-

9

10

 有4個根滿足 x₁＜x₂＜

π

4

＜x₃＜x₄，利用對稱性求出M的值．

解答：解：（1）y=f（x）的圖象如圖所示．
（.4分）
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，則

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，由于函數f（x）圖象關于直線x=

π

4

對稱，
則f(x)=f(

π

2

-x)．（6分）
又當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx，則f(x)=f(

π

2

-x)=-sin（

π

2

-x）=-cosx，（8分）
即f(x)=

-cosx，x∈[-π， π 4 ) -sinx，x∈[ π 4 ， 3π 2 ]

．（10分）
（3）因為-

9

10

∈（-1，-

2

2

），f（x）=-

9

10

 有4個根滿足 x₁＜x₂＜

π

4

＜x₃＜x₄，（12分）
由對稱性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，則M=x₁+x₂ +x₃+x₄=π．（14分）

點評：本題主要考查正弦函數的圖象，根的存在性及根的個數判斷，以及函數與方程的思想，解答關鍵是運用數形結合的思想，屬于中檔題．