Question

已知定義在區間（-1，1）上的函數f(x)=

ax+b

x2+1

為奇函數．且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）、求實數a、b的值．
（2）、求證：函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數．
（3）、解關于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）由“函數f（x）是奇函數”求，再結合f(

1

2

)=

2

5

求解．
（2）要求用定義，則先在給定的區間任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．
（3）由f（t-1）+f（t）＜0．且f（x）為奇函數，得f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），又函數f（x）是定義在區間（-1，1）上的增函數，故可求．

解答：解：（1）∵f（x）是在區間（-1，1）上的奇函數．

∴f(x)= x 1+x2

∴f(o)=b=o 又f( 1 2 )= a 2 +b 1+ 1 4 = 2 5

∴a=1…（4分）
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1則f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∴-1＜x₁＜x₂＜1∴x₁-x₂＜01-x₁x₂＞0（1+x₁²）（1+x₂²）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在區間（-1，1）上是增函數．…（8分）
（3）∴f（t-1）+f（t）＜0．且f（x）為奇函數∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∴函數f（x）是定義在區間（-1，1）上的增函數．∴

t＜1-t -1＜t＜1 -1＜1-t＜1

∴0＜t＜

1

2

故關于t的不等式的解集為{t|0＜t＜

1

2

 }…（12分）

點評：本題主要考查應用奇偶性來求函數解析式，應用單調性定義來證明函數的單調性，還考查了綜合運用奇偶性和單調性來解不等式的能力