Question

（本題滿分16分）

對于函數，如果存在實數使得，那么稱為的生成函數。

（1）下面給出兩組函數，是否分別為的生成函數？并說明理由。

第一組：；

第二組：。

（2）設，生成函數。若不等式

在上有解，求實數的取值范圍。

（3）設，取生成函數圖象的最低點坐標為。

若對于任意正實數且，
試問是否存在最大的常數，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）①設，即

取，所以是的生成函數。

②設，即

則，該方程組無解。

所以不是的生成函數。…………………………………4分

（2）

，即

所以，。因為，所以

則，函數在上單調遞增，所以

故。　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………………10分

（3）由題意得，，則，故，解得     所以。　　　　　　　　…………………………12分

假設存在最大的常數，使恒成立。于是設

＝

設，則，即

設

因為，所以在上單調遞減，從而

故存在最大的常數　　　　　　　　　　　…………………………………16分