Question

設函數f（x）的定義域為R，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（2）=4．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）證明：f（x）在R上為單調遞增函數；
（3）若有不等式f(x)•f(1+

1

x

)＜2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）先證明0＜f（x）＜1，再利用函數單調性的定義，設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用抽象表達式和已知函數性質證明f（x₁）＜f（x₂），即可得證；
（3）利用抽象表達式，先將不等式化為f(x+1+

1

x

)＜f(1)，再利用函數的單調性將不等式轉化為分式不等式即可得解集

解答：解（1）因為f（2+0）=f（2）•f（0），
所以4=4•f（0），
所以f（0）=1，
又因為4=f（2）=f（1+1）=f²（1），且當x＞0時，f（x）＞1，
所以f（1）=2
（2）當x＜0時，-x＞0，
所以f（-x）＞1，而f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x），
所以f(x)=

1

f(-x)

，
所以0＜f（x）＜1，
對任意的x₁，x₂∈R，當x₁＜x₂時，有f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）（f（x₁-x₂）-1），
因為x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，
所以0＜f（x₁-x₂）＜1，
即f（x₁-x₂）-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上是單調遞增函數
（3）因為f(x)•f(1+

1

x

)＜2，
所以f(x+1+

1

x

)＜f(1)，而f（x）在R上是單調遞增函數，
所以x+1+

1

x

＜1，
即：x+

1

x

＜0，
所以

x2+1

x

＜0，
所以x＜0，
所以x的取值范圍是x＜0

點評：本題主要考查了抽象函數表達式反映函數性質及抽象函數表達式的應用，函數單調性的定義及其證明，利用函數性質和函數的單調性解不等式的方法，轉化化歸的思想方法