Question

已知數列的前n項和為，，且()，數列滿足，，對任意，都有．
（Ⅰ）求數列、的通項公式；
（Ⅱ）令，若對任意的，不等式恒成立，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵，∴ ()，兩式相減得，，
∴，即，∴()，
滿足上式，故數列的通項公式()．··········· 4分
在數列中，由，知數列是等比數列，首項、公比均為，
∴數列的通項公式．（若列出、、直接得而沒有證明扣1分）···· 6分
（Ⅱ）∴    ①
∴         ②
由①-②，得，
∴，·························· 8分
不等式即為，
即（）恒成立．··············· 9分
方法一、設（），
當時，恒成立，則滿足條件；
當時，由二次函數性質知不恒成立；
當時， 由于，則在上單調遞減，恒成立，則滿足條件．
綜上所述，實數λ的取值范圍是．··············· 12分
方法二、也即（）恒成立，·············· 9分
令．則，·· 10分
由，單調遞增且大于0，∴單調遞增，當時，，且，故，∴實數λ的取值范圍是．

略