Question

已知函數，（，為常數，），且這兩函數的圖像有公共點，并在該公共點處的切線相同.
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）若時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ），，
設與的公共點為，則有
                                              ……3分
解得.                                                           ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以.
∴有時，恒成立，即恒成立.
∵, ∴，且等號不能同時成立，∴.
∴在時恒成立.                                      ……8分
設（）,則
.
顯然，又，∴.
所以（僅當時取等號）.
∴在上為增函數 .                                   ……11分
故.
所以實數的取值范圍是.                               ……12分
點評：導數是研究函數的有力工具，首先要看清函數的定義域，然后再利用導數研究函數的單調性，極值，最值等問題，而恒成立問題一般轉化為最值問題解決.