Question

設函數f(x)=

2x

1+|x|

(x∈R)，區間M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，則使M=N成立的實數對（a，b）有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、無數多個

Answer 1

分析：由題設知對于集合N中的函數f（x）的定義域為[a，b]，對應的f（x）的值域為N=M=[a，b]．由函數f(x)=

2x

1+|x|

(x∈R)，知f（x）是增函數．故N=[

2a

1+|a|

，

2b

1+|b|

]，由此能導出使M=N成立的實數對（a，b）的個數．

解答：解：∵x∈M，M=[a，b]，
則對于集合N中的函數f（x）的定義域為[a，b]，
對應的f（x）的值域為N=M=[a，b]．
又∵f(x)=

2x

1+|x|

=

2- 2 1+x     (x≥0) -2+ 2 1-x   (x＜0)

，
故當x∈（-∞，+∞）時，函數f（x）是增函數．
故N=[

2a

1+|a|

，

2b

1+|b|

]，
由N=M=[a，b]得

a=0 b=1

或

a=-1 b=0

或

a=-1 b=1

，
故選C．

點評：本題考查集合相等的概念，解題時要注意絕對值的性質和應用．