Question

設函數f(x)=

2x

|x|+1

(x∈R)，區間M=[a，b]（其中a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，則使M=N成立的實數對（a，b）有（　　）

A．1個

B．3個

C．2個

D．0個

Answer 1

分析：由已知中函數f(x)=

2x

|x|+1

(x∈R)，我們易判斷出函數的單調性及奇偶性，進而根據M=N成立時，f（a）=a且f（b）=b，解方程f(x)=

2x

|x|+1

=x，進而可由列舉法，求出答案．

解答：解：∵函數f(x)=

2x

|x|+1

(x∈R)為奇函數，
且函數在R為增函數
若M=N成立
∴f（a）=a且f（b）=b
令f(x)=

2x

|x|+1

=x
解得x=0，或x=±1
故使M=N成立的實數對（a，b）有（-1，0），（-1，1），（0，1）三組
故選B

點評：本題考查的知識點是集合關系中的參數取值問題，函數的值域，函數單調性的應用，其中根據已知中函數的解析式求確定出函數的單調性，并由M=N成立得到f（a）=a且f（b）=b，是解答本題的關鍵．