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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設 A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．
分析：（1）將x1=a，y1=0代入（
x1
a
，
y1
b 
）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，得（1，0）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，由此能求出點B的坐標．
（2）因（
x1
a
，
y1
b 
）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，所以
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，又因A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓上，所以
x12
a2
+
y12
b2
=1，
x22
a2
+
y22
b2
=1
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
=（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ），由此能夠證明所以點M在橢圓上．
（3）設點P（m1，n1）Q（m2，n2），則
PQ
=(m2-m1，n2-n1)，且
m
2
1
a2
+
n
2
1
b2
=1，
m
2
2
a2
+
n
2
2
b2
=1，所以
(m1-m2)(m1+m2)
a2
+
(n1-n2)(n1+n2)
b2
=0，故
PQ
⊥(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)，由此能夠導出線段PQ被直線OA平分．
解答：解：（1）將x1=a，y1=0代入（
x1
a
，
y1
b 
）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，得（1，0）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，
所以x2=0，y2=±b，即點B的坐標為（0，±b）．
（2）因（
x1
a
，
y1
b 
）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，所以
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，
又因A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓上，所以
x12
a2
+
y12
b2
=1，
x22
a2
+
y22
b2
=1
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
=（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ）
把M點坐標代入橢圓方程左邊得：
(x1cosθ+x2sinθ)2
a2
+
(y1cosθ+sinθ)2
b2
=
x12cos2θ+x22sin2θ
a2
+
y12cos2θ+y22sin2θ
b2
+2sinθcosθ(
x1x2
a2
+
y2y2
b2
)=cos2θ+sin2θ+2sinθcosθ×0=1所以點M在橢圓上．
（3）設點P（m1，n1）Q（m2，n2），則
PQ
=(m2-m1，n2-n1)
且
m
2
1
a2
+
n
2
1
b2
=1，
m
2
2
a2
+
n
2
2
b2
=1
所以
(m1-m2)(m1+m2)
a2
+
(n1-n2)(n1+n2)
b2
=0，
故有(m1-m2，n1-n2)•(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)=0
即
PQ
⊥(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)
又
PQ
∥
OB
，而
OB
=(x2，y2)，得(x2，y2)•(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)=0（A）
又由
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，得(x2，y2)•(
x1
a2
，
y1
b2
)=0，（B）
所以由（A）（B）得(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)=λ(
x1
a2
，
y1
b2
)，
即(
m1+m2
2
，
n1+n2
2
)=
λ
2
(x1，y1)
故線段PQ被直線OA平分．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，直線l過點F交拋物線C于A、B兩點．
（Ⅰ）設A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點Q，使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設A（x1，y1），B（x2，y2）是函數f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O為坐標原點，已知點M的橫坐標為
1
2
．
（Ⅰ）求證：點M的縱坐標為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的Sn，設an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若對于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，試求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點，已知O為坐標原點，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設A（x1，y1），B（x2，y2）是函數f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知點M的橫坐標為
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求點M的縱坐標值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn為數列{an}的前n項和，若Tn≤λ（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求λ的最小正整數值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是拋物線y=x2上的三個動點，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形．
（1）求證：直線BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C兩點之間距離的最小值．

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同步練習冊答案
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