Question

已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x²＋2x.
(1)求函數g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函數，求實數λ的取值范圍

Answer 1

(1)設函數y＝f(x)的圖象上任一點Q(x₀，y₀)關于原點的對稱點為P(x，y)，
則　，即　.
∵點Q(x₀，y₀)在函數y＝f(x)的圖象上，
∴－y＝x²－2x，即y＝－x²＋2x，故g(x)＝－x²＋2x.
(2)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得：2x²－|x－1|≤0.
當x≥1時，2x²－x＋1≤0，此時不等式無解．
當x<1時，2x²＋x－1≤0，∴－1≤x≤.
因此，原不等式的解集為.
(3)h(x)＝－(1＋λ)x²＋2(1－λ)x＋1.
①當λ＝－1時，得h(x)＝4x＋1在[－1,1]上是增函數，符合題意，∴λ＝－1.
②當λ≠－1時，拋物線h(x)＝－(1＋λ)x²＋2(1－λ)x＋1的對稱軸的方程為x＝.
(ⅰ)當λ<－1，且≤－1時，h(x)在[－1,1]上是增函數，解得λ<－1.
(ⅱ)當λ>－1，且≥1時，h(x)在[－1,1]上是增函數，解得－1<λ≤0.
綜上，得λ≤0.

解析