Question

（2013•臨沂一模）定義在R上的偶函數f（x）對任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且當x∈[2，3]時，f（x）=-x²+6x-9．若函數y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上有四個零點，則a的值為

1

4

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Answer 1

分析：由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函數是以2為周期的周期函數，又由函數f（x）是定義在R上的偶函數，結合當x∈[2，3]時，f（x）=-x²+6x-9．我們易得函數f（x）的圖象，最后利用圖象研究零點問題即可．

解答：解：由函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+1）=f（1-x）成立，
可得f（x+2）=f（-x）=f（x），
∴函數f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數，
當x∈[2，3]時，f（x）=-x²+6x-9．
函數y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上的零點個數等于函數y=f（x）和函數y=log_ax的圖象在（0，+∞）上的交點個數，如圖所示：
當y=log_ax的圖象過點A（4，-1）時，函數y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上有四個零點，
∴-1=log_a4，∴a=

1

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故答案為：

1

4

．

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合應用，函數的周期性，考查函數的零點與方程的根的關系，體現了化歸與轉化與數形結合的數學思想，屬于中檔題．