Question

（2011•南匯區二模）已知動直線y=kx交圓（x-2）²+y²=4于坐標原點O和點A，交直線x=4于點B，若動點M滿足

OM

=

AB

，動點M的軌跡C的方程為F（x，y）=0．
（1）試用k表示點A、點B的坐標；
（2）求動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）以下給出曲線C的五個方面的性質，請你選擇其中的三個方面進行研究，并說明理由（若你研究的方面多于三個，我們將只對試卷解答中的前三項予以評分）．
①對稱性；（2分）
②頂點坐標（定義：曲線與其對稱軸的交點稱為該曲線的頂點）；（2分）
③圖形范圍；（2分）
④漸近線；（3分）
⑤對方程F（x，y）=0，當y≥0時，函數y=f（x）的單調性．（3分）

Answer 1

分析：（1）將直線的方程代入圓的方程，得到點A、直線和直線的方程聯立得出點B的坐標從而解決問題．
（2）利用向量的坐標關系式得出點M的參數方程為

x= 4k2 1+k2 y= 4k3 1+k2

（k為參數），消去參數k，得動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）①關于對稱性；將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程的形式不變，則曲線C關于x軸對稱．
②關于頂點坐標，曲線C的頂點為（0，0）；在方程x³+xy²-4y²=0中，令y=0，得x=0．則曲線C的頂點坐標為（0，0）．
③關于圖象范圍：0≤x＜4，y∈R；y2=

x3

4-x

≥0，得0≤x＜4，y∈R．
④關于漸近線，直線x=4是曲線C的漸近線；0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，當x→4時，y→∞．則直線x=4是曲線C的漸近線．
⑤關于單調性：當y≥0時函數y=f（x）在[0，4）上單調遞增．

解答：解：（1）

(x-2)2+y2=4 y=kx

，得

x=0 y=0

或

x= 4 1+k2 y= 4k 1+k2

，
即點A(

4

1+k2

，  

4k

1+k2

).

x=4 y=kx

，得

x=4 y=4k

，即點B（4，4k）．…4分
（2）

OM

=

AB

=(

4k2

1+k2

，

4k3

1+k2

)，則點M的參數方程為

x= 4k2 1+k2 y= 4k3 1+k2

（k為參數），
消去參數k，得x³+xy²-4y²=0．…8分
（3）①關于x軸對稱；
將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程的形式不變，則曲線C關于x軸對稱．
②曲線C的頂點為（0，0）；
在方程x³+xy²-4y²=0中，令y=0，得x=0．則曲線C的頂點坐標為（0，0）．
③圖象范圍：0≤x＜4，y∈R；y2=

x3

4-x

≥0，得0≤x＜4，y∈R．
④直線x=4是曲線C的漸近線；0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，當x→4時，y→∞．則直線x=4是曲線C的漸近線．
⑤當y≥0時函數y=f（x）在[0，4）上單調遞增；y2=

x3

4-x

(0≤x＜4)．設0≤x₁＜x₂＜4，則

y

2 1

-

y

2 2

=

x 3 1

4-x1

-

x 3 2

4-x2

=

x 3 1 (4-x2)- x 3 2 (4-x1)

(4-x1)(4-x2)

=

(x1-x2)[ x 2 1 (4-x2)+ x 2 2 (4-x1)+4x1x2]

(4-x1)(4-x2)

＜0．
則y₁²＜y₂²，即y₁＜y₂，所以當y≥0時函數y=f（x）在[0，4）上單調遞增．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系、考查了曲線的幾何性質，解題時要認真審題，仔細解答．