Question

如圖所示，已知橢圓C：＋y²＝1，在橢圓C上任取不同兩點A，B，點A關于x軸的對稱點為A′，當A，B變化時，如果直線AB經過x軸上的定點T(1，0)，則直線A′B經過x軸上的定點為________．

Answer 1

(4，0)

設直線AB的方程為x＝my＋1，由得(my＋1)²＋4y²＝4，即(m²＋4)y²＋2my－3＝0.
記A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則A′(x₁，－y₁)，且y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝－，
當m≠0時，經過點A′(x₁，－y₁)，B(x₂，y₂)的直線方程為＝.令y＝0，得x＝y₁＋x₁＝y₁＋my₁＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝4，所以y＝0時，x＝4.
當m＝0時，直線AB的方程為x＝1，此時A′，B重合，經過A′，B的直線有無數條，當然可以有一條經過點(4，0)的直線．當直線AB為x軸時，直線A′B就是直線AB，即x軸，這條直線也經過點(4，0)．綜上所述，當點A，B變化時，直線A′B經過x軸上的定點(4，0)．