Question

已知橢圓與雙曲線x²－y²＝0有相同的焦點，且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點P(0，1)的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，若＝2，求△AOB的面積．

Answer 1

（1）＝1（2）

(1)設橢圓方程為＝1，a>b>0，
由c＝，＝，可得a＝2，b²＝a²－c²＝2，
所以橢圓的標準方程為＝1.
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由＝2，得可得x₁＝－2x₂.①
設過點P的直線方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程，整理得(2k²＋1)x²＋4kx－2＝0，
則x₁＋x₂＝－，②x₁x₂＝，③
由①②得x₂＝，將x₁＝－2x₂代入③得＝，
所以＝，解得k²＝.
又△AOB的面積S＝|OP|·|x₁－x₂|＝·＝.所以△AOB的面積是.