Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）軌跡上有兩點(diǎn)，，它們關(guān)于直線：對(duì)稱，且滿足，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，其方程為（2）

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為表示出化簡(jiǎn)可得.
（2）根據(jù)對(duì)稱，由垂徑定理可得圓心在直線：上，即可求出直線的方程，易知垂直于直線，且.設(shè)的中點(diǎn)為，則，計(jì)算可得，，的值，即可求出的面積.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

整理得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，且方程為.

（2）由（1）知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是圓心為，半徑的圓，圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，由垂徑定理可得圓心在直線：上，代入并求得，故直線的方程為.

易知垂直于直線，且.

設(shè)的中點(diǎn)為，則

，又，.

∴，，∴，.

易知，故到的距離等于，∴.