Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，焦距長，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點(diǎn)符合題意

【解析】

(1)首先可通過焦距為計(jì)算出的值，再將點(diǎn)代入橢圓方程中即可計(jì)算出的值，最后得出橢圓的方程；

(2)首先可設(shè)點(diǎn)存在，然后設(shè)出直線的方程以及、兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程得出的值，然后對進(jìn)行化簡，最后即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及定值。

(1)由焦距為可以得出，

然后將代入方程可得，，

故橢圓方程為；

(2)假設(shè)存在點(diǎn)，使為定值，

若直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線：交橢圓于，，

由可得：，，，

，，

，

要使上式為定值，則，即，此時(shí)

而當(dāng)點(diǎn)為，且直線的斜率為0時(shí)，，，

，

故在軸上存在點(diǎn)，使得為定值，且等于。