Question

【題目】如圖，給定由個點組成的正三角形點陣。在其中任意取三個點，以這三點為頂點構成的正三角形的概率為__________。

Answer 1

【答案】

【解析】

設正三角形點陣的凸包為正，邊長為.

首先，計算正△DEF的個數，其中，D、E、F為上述正三角形點陣內的點.

如圖，將AB、AC分別延長到點，使得.將分成n等份.

對正三角形點陣內任一點X，過X作AB、AC的平行線與的交點，并分別記為.

下面分兩種情形.

1.正△DEF與正△ABC的對應邊平行，則正△DEF與邊上有序三點組一一對應，有個正三角形.

2.正△不與正△ABC對應邊平行，作正△的外接正△DEF，使得正△DEF與正△ABC的對應邊平行，則正△與邊B’C’上有序四點組一一對應，有個正三角形.

綜上，共有個正三角形.

從而，所求概率為.

故答案為：