Question

【題目】如圖，在四面體中，， ．

（1）證明：；

（2）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結，易證平面，從而得證；

（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.

詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結．

因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．

（2）在Rt△中，因為，，所以，， ，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．

以，，為，，軸建立空間直角坐標系．則， ，，，，，．

設是平面的法向量，則，即，可取．

設是平面的法向量，則，即，可取．

因為，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為

解法二：（1）因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．

設中點為，連結，，則，，所以平面，，于是．

（2）在Rt△中，因為，，所以△面積為．設到平面距離為，因為四面體的體積，所以．

在平面內過作，垂足為，因為，，所以．由點到平面距離定義知平面．

因為，所以．因為，，所以，，所以，即二面角的余弦值為．