Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x

x+1

，且a1=

1

2

，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值；
（II）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)字歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=

2an

an+1

，a₁=

1

2

，即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（II）由a₁，a₂，a₃，a₄，可猜想a_n=

2n-1

2n-1+1

，用數(shù)學(xué)歸納法證明，①當(dāng)n=1時(shí)，去證明結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)等式成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立即可．

解答：解：（I）由題意，得a_n+1=

2an

an+1

，（1分）
因?yàn)閍₁=

1

2

，
所以a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

．（3分）
（II）解：由a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n=

2n-1

2n-1+1

（5分）
以下用數(shù)字歸納法證明：對(duì)任何的n∈N*，a_n=

2n-1

2n-1+1

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由已知，左邊=

1

2

，右邊=

1

1+1

=

1

2

，所以等式成立．（7分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)等式成立，即a_k=

2k-1

2k-1+1

，（8分）
則n=k+1時(shí)，a_k+1=

2ak

ak+1

=

2× 2k-1 2k-1+1

2k-1 2k-1+1 +1

=

2k

2k-1+2k-1+1

=

2k

2k+1

=

2(k+1)-1

2(k+1)-1+1

．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．（12分）
根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)于任何n∈N*都成立．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法，證明時(shí)用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，突出考查推理與證明的能力，屬于中檔題．