Question

已知函數f（x）=ax²+bx-1滿足以下兩個條件：
①函數f（x）的值域為[-2，+∞）；
②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設F（x）=f（-x）-kf（x），若F（x）在[-2，2]上是減函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可知：函數f（x）有最小值-2=

-4a-b2

4a

，a＞0；其函數圖象關于直線x=-1對稱，即-1=-

b

2a

，解出即可；
（2）利用導數對k分類討論即可求出．

解答：解：（1）由函數f（x）=ax²+bx-1滿足以下兩個條件：
①函數f（x）的值域為[-2，+∞）；②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．
所以可知：函數f（x）有最小值-2=

-4a-b2

4a

，a＞0；其函數圖象關于直線x=-1對稱，即-1=-

b

2a

，
聯立

-2= -4a-b2 4a a＞0 -1=- b 2a

，解得

a=1 b=2

∴f（x）=x²+2x-1．
（2）解：由（1）可知：F（x）=（1-k）x²-2（1+k）x+k-1．
當k=1時，F（x）=-4x在[-2，2]上是減函數，故k=1滿足條件．
當k≠1時，F^′（x）=2（1-k）x-2（1+k）=2(1-k)(x-

1+k

1-k

)
當滿足

k＞1 -2≥ 1+k 1-k

時，即1＜x≤3時，F（x）在[-2，2]上單調遞減；
當滿足

k＜1 2≤ 1+k 1-k

時，即

1

3

≤k＜1時，F（x）在[-2，2]上單調遞減；
綜上可知：實數k的取值范圍是

1

3

≤k≤3．

點評：充分利用二次函數的單調性、對稱性和導數解決函數的單調性是解題的關鍵．